[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozważmy układ dynamiczny, w którym określono miarę oraz pewną funkcję
dynamiczną F () zdefiniowaną na powierzchni stałej energii i spełniającą
warunek
d|F ()|
H =E
(Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa) Granica nieskończonego czasu
dla średniej czasowej
T
1
F () = lim dtF (t)
T ! "
T
istnieje niemal wszędzie na powierzchni stałej energii.
Jak łatwo zauważyć F () może zależeć jedynie od trajektorii, ale nie od
wybranego dla niej punktu początkowego, gdyż
T T +t0
1 1
F (t ) = lim dtF (t +t) = lim F (t) =
0 0
T ! " T ! "
T T
0 t0
T T +t0
1
= lim F (t)dt + F (t)dt + F (t)dt .
T ! "
T
t0 0 T
W granicy T ! " wyraz pierwszy i trzeci znikają, a drugi dąży do F ().
Tak więc długoczasowa średnia jest stała wzdłuż całej trajektorii
"t F () = F (t ), zatem można zapisać:
0 0
dF () = dF ().
Twierdzenie Birkhoffa nie wystarcza do wykazania, że fizycznie ciekawe
układy są ergodyczne w rozumieniu Boltzmanna, ponieważ średnia czasowa
ciągle zależy od trajektorii i niekoniecznie równa jest średniej po zespole.
Pozwala jednak zdefiniować układ spełniający hipotezę ergodyczną
Boltzmanna.
Definicja: Układ nazywamy ergodycznym, jeśli średnia czasowa funkcji
F () jest stała na powierzchni stałej energii.
Stałą tą oznaczymy F .
Układ jest ergodyczny, jeśli średnia czasowa wielkości dynamicznej jest
w nim równa średniej mikrokanonicznej, ponieważ
dF () = dF () = F d,
zatem:
dF ()
F = = F () .
d
Co więcej, hipoteza Boltzmanna, że czas spędzany przez układ w danym
obszarze na powierzchni stałej energii jest proporcjonalny do mikrokanonicznej
miary obszaru, jest rzeczywiście spełniona dla układu ergodycznego. Wezmy
za F () funkcję charakterystyczną i() obszaru i zdefiniowaną jako:
1, jeśli " obszaru i,
i() =
ó
0, jeśli " obszaru i.
/
Wówczas
T
1 i
() = lim dti(t) = lim ,
T ! " T ! "
T T
co jest równe ułamkowi czasu, jaki układ spędza w obszarze i oraz:
di() i
() = () = = .
d (S)
4. Ergodyczność a całkowalność.
Jednym z przykładów układów nieergodycznych jest układ dwóch
identycznych, sprzężonych oscylatorów harmonicznych:
2
s1 + 0s1 = -k(s1 - s2)
2
ó
s2 + 0s2 = -k(s2 - s1)
Układ ten ma dwa mody normalne: jeden, którym zmienne s1 i s2 oscylują
w fazie, i drugi, w którym ich fazy są przeciwne. Jeśli układ zaczyna ruch
w jednym z modów normalnych, to energia nigdy nie przechodzi do drugiego
modu. Nie ma możliwości, żeby układ prowadził eksplorację całego zakresu
dostępnych stanów o określonej energii.
Można pokazać, że hipoteza ergodyczna zawodzi dla tego układu, ponieważ
jest on całkowalny; oprócz energii całkowitej istnieją inne wielkości, które są
zachowane w trakcie ruchu i te dodatkowe prawa zachowania wykluczają
eksplorację wszystkich stanów o zadanej energii.
Dokładnie rozwiązywalne równania ruchu zawsze mają dodatkowe całki
ruchu. Istnienie nawet jednej dodatkowej całki ruchu wystarcza, aby
ograniczyć układowi dostęp do wszystkich stanów o danej energii i unieważnić
hipotezę ergodyczną.
Bibliografia
[1] Wprowadzenie do teorii chaosu J. R. Dorfman
[2] Podstawy fizyki statystycznej i termodynamiki A. I. Anselm
[3] Zjawiska Krytyczne J. J. Binney, N. J. Dowrick, A. J. Fisher,
M. E. J. Newman
[ Pobierz całość w formacie PDF ]